【題目】已知橢圓
的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成面積為
的等腰直角三角形.
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）直線
與橢圓交于點A、B，線段
的中點為M，射線MO與橢圓交于點P，點O為
的重心，試問：的面積S是否為定值，若是，求出這個值；若不是，求S的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
的面積
為定值
.
【解析】
（1）依題意可得：
，解得
，可得橢圓
的方程.
（2）若直線
的斜率不存在，由已知可得
，
，可求得
的面積S；若直線的斜率存在，設直線的方程為
，設
，
，直線與橢圓的方程聯(lián)立可得
，則
，
，
，由點
為的重心，設
，求得點P的坐標，代入橢圓的方程中得到m與k的關系
，再運用三角形的面積公式求得的面積，得出結(jié)論.
（1）依題意得：，解得
，所以橢圓的方程為.
（2）若直線的斜率不存在，因為點O為的重心，所以，，
所以的面積
.
若直線的斜率存在，設直線的方程為，設，，
即
，聯(lián)立化簡得，
則，，
由題意點為的重心，設，則
，
，
所以
，
，代入橢圓，
得
，整理得，
設坐標原點到直線的距離為
，則的面積
.
綜上可得的面積為定值.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司
年至
年的年利潤
關于年份代號
的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關）.
年份 |
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年份代號 |
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年利潤 |
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（Ⅰ）求關于的線性回歸方程，并預測該公司
年（年份代號記為
）的年利潤；
（Ⅱ）當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為
級利潤年，否則稱為
級利潤年.將（Ⅰ）中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取
年，求恰有
年為級利潤年的概率.
參考公式：
，
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開展技術創(chuàng)新活動，在A，B實驗地分別用甲、乙方法培育該品種花苗．為觀測其生長情況，分別在A，B試驗地隨機抽選各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評分為80及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗．
（1）求圖中a的值，并求綜合評分的中位數(shù)；
（2）用樣本估計總體，以頻率作為概率，若在A，B兩塊實驗地隨機抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的優(yōu)質(zhì)花苗數(shù)的分布列和數(shù)學期望；
（3）填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關．
優(yōu)質(zhì)花苗 | 非優(yōu)質(zhì)花苗 | 合計 | |
甲培育法 | 20 | ||
乙培育法 | 10 | ||
合計 |
附：下面的臨界值表僅供參考．
| 0．15 | 0．10 | 0．05 | 0．025 | 0．010 | 0．005 | 0．001 |
| 2．072 | 2．706 | 3．841 | 5．024 | 6．635 | 7．879 | 10．828 |
（參考公式：
，其中
．）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設A、B是拋物線
上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點，且
，（其中O為坐標原點）．
（1）求證：直線
必與x軸交于一定點Q，并求出此定點Q的坐標；
（2）過點Q作直線的垂線與拋物線交于C、D兩點，求四邊形
面積的最小值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】等邊
的邊長為
，點
，
分別是
，
上的點，且滿足
(如圖(1))，將
沿
折起到
的位置，使二面角
成直二面角，連接
，
(如圖(2)).
(1)求證：
平面
；
(2)在線段上是否存在點
，使直線
與平面
所成的角為
?若存在，求出
的長；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）當
時，證明：函數(shù)
有兩個零點．
（2）若函數(shù)
有兩個不同的極值點，記作
，且
，證明
（
為自然對數(shù)的底數(shù)）．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知
是橢圓
的左、右焦點,點
在橢圓
上,且離心率為
(1)求橢圓
的方程；
(2)若
的角平分線所在的直線
與橢圓
的另一個交點為
為橢圓
上的一點,當
面積最大時,求點
的坐標.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某校為確定數(shù)學成績與玩手機之間的關系，從全校隨機抽樣調(diào)查了40名同學，其中40%的人玩手機．這40位同學的數(shù)學分數(shù)（百分制）的莖葉圖如圖①所示．數(shù)學成績不低于70分為良好，低于70分為一般．
（1）根據(jù)以上資料完成下面的
列聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“數(shù)學成績良好與不玩手機有關系”．
數(shù)學成績良好 | 數(shù)學成績一般 | 總計 | |
不玩手機 | |||
玩手機 | |||
總計 | 40 |
（2）現(xiàn)將40名同學的數(shù)學成績分為如下5組：
，其頻率分布直方圖如圖②所示．計算這40名同學數(shù)學成績的平均數(shù)，由莖葉圖得到的真實值記為
，由頻率分布直方圖得到的估計值記為
（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），求與的誤差值．
（3）從這40名同學數(shù)學成績高于90分的7人中隨機選取2人，求至少有一人玩手機的概率．
附：
，
這40名同學的數(shù)學成績總和為2998分．
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面
是矩形，平面
平面，
，且
，點
為
的中點.
（1）證明：平面
平面
；
（2）若直線
和平面
所成的角為
，求直線
與平面所成角的正弦值.
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