Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且∠A滿足：2cos²A-2

3

sinAcosA=-1．
（Ⅰ）若a=2

3

，c=2，求△ABC的面積；
（Ⅱ）求

b-2c

a•cos(60°+C)

的值．

Answer 1

考點：余弦定理,三角函數中的恒等變換應用,正弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ）已知等式左邊利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式變形，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，進而得到sinA的值，再由a與c的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積；
（Ⅱ）原式分子分母利用正弦定理變形，再利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，約分即可得到結果．

解答： 解：（Ⅰ）∵2cos²A-2

3

sinAcosA=-1，
∴1+cos2A-

3

sin2A=1-2（

3

2

sin2A-

1

2

cos2A）=1-2sin（2A-

π

6

）=-1，即sin（2A-

π

6

）=1，
∵A為三角形內角，即0＜A＜π，
∴2A-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

），
∴2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
在△ABC中，由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+4-12

4b

=

1

2

，
解得：b=4或b=-2（舍去），
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

；
（Ⅱ）已知等式

b-2c

a•cos(60°+C)

，
利用正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
變形得：

2RsinB-2×2RsinC

2RsinA•cos(60°+C)

=

sinB-2sinC

sinA•cos(60°+C)

=

sin(120°-C)-2sinC

sinA•cos(60°+C)

=

3 2 cosC- 3 2 sinC

3 2 cos(60°+C)

=

3 cos(60°+C)

3 2 cos(60°+C)

=2．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．