Question

已知數列{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，且滿足a₁+a₂+a₃=9，b₁b₂b₃=27．
（1）若a₄=b₃，b₄-b₃=m．
①當m=18時，求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
②若數列{b_n}是唯一的，求m的值；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃均為正整數，且成等比數列，求數列{a_n}的公差d的最大值．

Answer 1

考點：等比數列的性質,等差數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）①由已知a₁+a₂+a₃=9，b₁b₂b₃=27，求出a₂=3，b₂=3，從而建立方程組，即可求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
②設b₄-b₃=m，得3q²-3q=m，即3q²-3q-m=0，分類討論，可得結論；
（2）設{b_n}公比為q，則有36=（3-d+

3

q

）（3+d+3q），（**），記m=3-d+

3

q

，n=3+d+3q，則mn=36．將（**）中的q消去，即可得出結論．

解答： 解：（1）①由數列{a_n}是等差數列及a₁+a₂+a₃=9，得a₂=3，
由數列{b_n}是等比數列及b₁b₂b₃=27，得b₂=3．                              …（2分）
設數列{a_n}的公差為d，數列{b_n}的公比為q，
若m=18，
則有

3+2d=3q 3q2-3q=18

解得

d=3 q=3

或

d=- 9 2 q=-2

，
所以，{a_n}和{b_n}的通項公式為a_n=3n-3，b_n=3^n-1或a_n=-

9

2

n+12，b_n=3•（-2）^n-2…（4分）
②由題設b₄-b₃=m，得3q²-3q=m，即3q²-3q-m=0（*）．
因為數列{b_n}是唯一的，所以
若q=0，則m=0，檢驗知，當m=0時，q=1或0（舍去），滿足題意；
若q≠0，則（-3）²+12m=0，解得m=-

3

4

，代入（*）式，解得q=

1

2

，
又b₂=3，所以{b_n}是唯一的等比數列，符合題意．
所以，m=0或-

3

4

．                                                      …（8分）
（2）依題意，36=（a₁+b₁） （a₃+b₃），
設{b_n}公比為q，則有36=（3-d+

3

q

）（3+d+3q），（**）
記m=3-d+

3

q

，n=3+d+3q，則mn=36．
將（**）中的q消去，整理得：d²+（m-n）d+3（m+n）-36=0                …（10分）
d的大根為

n-m+ (m-n)2-12(m+n)+144

2

=

n-m+ (m+n-6)2-36

2

而m，n∈N^*，所以 （m，n）的可能取值為：
（1，36），（2，18），（3，12），（4，9），（6，6），（9，4），（12，3），（18，2），（36，1）．
所以，當m=1，n=36時，d的最大值為

35+5 37

2

．                         …（16分）

點評：本題主要考查了等差數列、等比數列的性質及通項公式的應用，等比數列的性質的綜合應用及一定的邏輯推理運算的能力，屬于難題．