Question

已知虛數α、β滿足α²+pα+1=0和β²+pβ+1=0（其中p∈R），若|α-β|=1，則p=

 

．

Answer 1

考點：復數代數形式的混合運算

專題：數系的擴充和復數

分析：根據根與系數之間的關系即可得到結論．

解答： 解：∵虛數α、β滿足α²+pα+1=0和β²+pβ+1=0（其中p∈R），
∴虛數α、β是方程x²+px+1=0的兩個虛根，
則α、β互為共軛復數，設α=a+bi，則β=a-bi，
則α-β=2bi，由|α-β|=1，得2|b|=1，|b|=

1

2

，
則由α²+pα+1=0得a²-b²+2abi+p（a+bi）+1=0，
即a²-b²+pa+1=0且2ab+bp=0，
即p=-2a，a²-

1

4

-2a²+1=0
即a²=

3

4

，a=±

3

2

，
則p=-2a=±

3

，
（另解：∵虛數α、β滿足α²+pα+1=0和β²+pβ+1=0（其中p∈R），
∴虛數α、β是方程x²+px+1=0的兩個虛根，
則α、β互為共軛復數，設α=a+bi，則β=a-bi，
則α-β=2bi，由|α-β|=1，得2|b|=1，|b|=

1

2

，
由根與系數之間的關系得α+β=-p=2a，αβ=a²+b²=1，
即a²=1-b²=1-

1

4

=

3

4

，a=±

3

2

，
則p=-2a=±

3

，
故答案為：±

3

，

點評：本題主要考查復數的有關概念和運算，利用復數的四則運算以及根與系數之間的關系是解決本題的關鍵，比較基礎．