Question

已知拋物線C：x²=4y焦點F的直線與C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求線段AB中點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）動點P是拋物線C上異于A，B的任意一點，直線PA，PB與拋物線C的準線l分別交于點M，N，求

FM

•

FN

的值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）AB的方程為：y=kx+1，聯立方程組化簡得：x²-4kx-4=0，根據韋達定理，即可求線段AB中點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）求出M，N點橫坐標，利用向量的數量積公式，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）C：x²=4y的焦點為（0，1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點（x，y）．
AB的方程為：y=kx+1．
聯立方程組化簡得：x²-4kx-4=0，根據韋達定理，得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴x=

x1+x2

2

=2k，y=

y1+y2

2

=2k²+1，
∴AB中點的軌跡方程：y=

1

2

x2+1．                            …（4分）
（Ⅱ）設P（x₀，

x02

4

），則直線PA的方程為：y-

x12

4

=

x12 4 - x02 4

x1-x0

（x-x₁），
當y=-1時，x=

-4+x1x0

x1+x0

．即M點橫坐標為x_M=

-4+x1x0

x1+x0

，
同理可得N點橫坐標為x_N=

-4+x2x0

x2+x0

．                    …（8分）
∴x_Mx_N=

-4+x1x0

x1+x0

•

-4+x2x0

x2+x0

=-4，
∴

FM

•

FN

=（x_M，-2）•（x_N，-2）=x_Mx_N+4=0 …（12分）

點評：本題考查拋物線的簡單性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量的數量積公式，屬于中檔題．