【題目】平面直角坐標系xOy中，已知橢圓
的離心率為
，左右焦點分別是
和
，以為圓心，3為半徑的圓與以為圓心，1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上.
（1）求橢圓C的方程.
（2）設橢圓
，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線
交橢圓E于A、B兩點，射線OP交橢圓E于點Q.
①判斷
是否為定值？若是定值求出該定值，若不是定值說明理由.
②求
面積的最大值.
【答案】（1）
；（2）①
為定值，定值為2；②
.
【解析】
(1) 設兩圓的一個交點為P，則
，
，由橢圓的定義可求出
，又離心率為
求出
，從而可得橢圓C的方程;
(2) ①設P（x0，y0），
，可得
,將其代入橢圓
的方程可得結果;
②設A（x1，y1），B（x2，y2），將直線
與橢圓E的方程聯立,利用根與系數的關系表示出弦長
，同時直線與兩橢圓都有交點，兩個判別式大于0，
到直線的距離將到直線
的距離
表示出來，再將面積表示出來求最值可求得結果.
（1）設兩圓的一個交點為P，則，，
由P在橢圓上可得
，
則
，
，得
，則
，
故橢圓方程為.
（2）①橢圓方程
，
，則
，
在射線
上，，
，
代入可得
，
，=2.
②直線為，由①可得
為
的中點，在直線上，
則到直線的距離與
到直線的距離相等，則
，
，
，聯立
，
，
則
，
，
=
，
聯立
，得
，∴
，∴
，
，當
時，
面積的最大值為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市舉行“中學生詩詞大賽”，分初賽和復賽兩個階段進行，規定：初賽成績大于90分的具有復賽資格，某校有800名學生參加了初賽，所有學生的成績均在區間
內，其頻率分布直方圖如圖．
（Ⅰ）求獲得復賽資格的人數；
（Ⅱ）從初賽得分在區間
的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取
人參加學校座談交流，那么從得分在區間
與
各抽取多少人?
（Ⅲ）從（Ⅱ）抽取的
人中，選出
人參加全市座談交流，設
表示得分在區間
中參加全市座談交流的人數，求
的分布列及數學期望E（X）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高中數學建模興趣小組的同學為了研究所在地區男高中生的身高與體重的關系，從若干個高中男學生中抽取了1000個樣本，得到如下數據.
數據一：身高在
（單位：
）的體重頻數統計
體重 （ |
|
|
|
|
|
|
|
|
人數 | 20 | 60 | 100 | 100 | 80 | 20 | 10 | 10 |
數據二：身高所在的區間含樣本的個數及部分數據
身高 |
|
|
|
|
|
平均體重
| 45 | 53.6 | 60 | 75 |
（1）依據數據一將上面男高中生身高在
（單位：）體重的頻率分布直方圖補充完整，并利用頻率分布直方圖估計身高在（單位：）的中學生的平均體重；（保留小數點后一位）
（2）依據數據一、二，計算身高（取值為區間中點）和體重的相關系數約為0.99，能否用線性回歸直線來刻畫中學生身高與體重的相關關系，請說明理由；若能，求出該回歸直線方程；
（3）說明殘差平方和或相關指數
與線性回歸模型擬合效果之間關系.（只需寫出結論，不需要計算）
參考公式：
，
.
參考數據：（1）
；（2）
；（3）
，
，
；（4）
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】記焦點在同一條軸上且離心率相同的橢圓為“相似橢圓”.已知橢圓
，以橢圓
的焦點為頂點作相似橢圓
.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設直線
與橢圓交于
兩點，且與橢圓僅有一個公共點，試判斷
的面積是否為定值(
為坐標原點)？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，將
的圖像向右平移
個單位后，再保持縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，得到函數
的圖象.
（1）求函數在
上的值域及單調遞增區間；
（2）若
，且
，
，求
的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
（2）若與交于
，
兩點，點
的極坐標為
，求
的值.
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