Question

【題目】記焦點在同一條軸上且離心率相同的橢圓為“相似橢圓”.已知橢圓，以橢圓的焦點為頂點作相似橢圓.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設直線與橢圓交于兩點，且與橢圓僅有一個公共點，試判斷的面積是否為定值(為坐標原點)？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)6.

【解析】分析：(Ⅰ)由相似橢圓的定義可得，橢圓的離心率，由長軸的頂點為(-2，0)，(2，0)，于是可得，從而可得橢圓的方程；(Ⅱ)設直線 .

由得，，利用判別式為零可得，聯立與，利用韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式以及三角形面積公式可得.

詳解：(Ⅰ)由條件知，橢圓的離心率，且長軸的頂點為(-2，0)，(2，0)，

∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)當直線的斜率存在時，設直線 .

由得，.

令得，.

聯立與，化簡得.

設A()，B()，則

∴，而原點O到直線的距離

∴.

當直線的斜率不存在時，或，則，原點O到直線的距離，

∴.

綜上所述，的面積為定值6.