Question

設函數．
（1）求函數在上的值域；
（2）證明對于每一個，在上存在唯一的，使得；
（3）求的值．

Answer 1

(1) ；（2）證明見解析；（3）當時，為，當且時，為．

解析試題分析：(1)由于可以看作為的二次函數，故可利用換元法借助二次函數知識求出值域；（2）這類問題的常用方法是證明在區間是單調的，且或者或，即可得證；本題中證時也可數學歸納法證明；（3）要求的值，注意分類討論，時直接得結論，那么求時，只要用分組求和即可，在時，中除第一項外是一個公比不為1的等比數列的和，因此先求出
，同樣在求時用分組求和的方法可求得結論．
試題解析：（1），由 令，．
，在上單調遞增，在上的值域為．     4分
（2）對于，有，，從而，,,在上單調遞減, ,在上單調遞減．
又.
.      7分
當時，
（注用數學歸納法證明相應給分）
又，即對于任意自然數有
對于每一個，存在唯一的，使得      11分
（3）．
當時，．
.      14分
當且時，．
     18分
考點：(1)換元法與二次函數的值域；（2）函數的零點；（3）分類討論與分組求和．