Question

【題目】設函數．若方程有且只有兩個不同的實根，則實數的取值范圍為 ( )

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

對該題應用分類討論思想分以下三種情況：

①若無實根，即，則不合題意．

②若有兩個相等的實數根，此時由得：，無根，不合題意，故舍去．

③若有兩個不相等的實數根，也即，設的實根為：和，則：方程或共有兩個不等實根．進一步可知：方程和有且僅有一個方程有兩個不等實根．即：和中一個方程有兩不等實根另一個方程無實根．又由于，可得，，利用換元法解不等式可得的取值范圍。

解：函數

若方程有且只有兩個不同的實根

①若無實根，即，則不合題意．

②若有兩個相等的實數根，此時由得：，無根，不合題意，故舍去．

③若有兩個不相等的實數根，也即，設的實根為：和，則：方程或有兩個不等實根．進一步可知：方程和有且僅有一個方程有兩個不等實根．

即：和中一個方程有兩不等實根另一個方程無實根．

又由于，可得，設，則

則不等式組轉化為，解得，

，

即。

故選：A．