Question

【題目】已知點在橢圓上，橢圓的右焦點，直線過橢圓的右頂點，與橢圓交于另一點，與軸交于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為弦的中點，是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）若，交橢圓于點，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）.

【解析】

（1）設點為,利用橢圓的定義及兩點間距離公式可求得,結合及橢圓中的關系可求得,則求得橢圓的標準方程.

（2）根據直線過橢圓的右頂點可設出直線,聯立橢圓方程,結合韋達定理可用斜率表示出D點的坐標,再由中點坐標公式表示出點坐標,即可得直線的斜率.根據直線交軸于,可表示出點坐標.設出定點,表示出直線的斜率,根據可知,根據恒成立問題即可求得的坐標.

（3）設出直線的方程,聯立橢圓即可求得點M的坐標,代入后化簡為關于直線斜率的表達式,通過構造函數,并根據函數的單調性即可求得的取值范圍.

（1）設橢圓過的定點為,且左焦點為

因為橢圓的右焦點則

所以

由橢圓定義

所以

由橢圓中的關系可知

∴橢圓的標準方程：

（2）由題意可知,直線的斜率存在且不為0,

直線過橢圓的右頂點,交另外一點于D.設直線的方程,

聯立方程可得,

消去整理得：,

則由韋達定理可知,

則,代入直線方程可得,

∴,

由為弦的中點,根據中點坐標公式可得,

∴直線的斜率,

對于直線的方程,令,則,

假設存在定點,,滿足,

直線的斜率,

∴,整理得,

由恒成立,則,解得

則定點的坐標為；

（3）由,則直線的方程,設,

由,解得,

∵

令,（直線的斜率存在且不為0,∴）

∵函數在單調遞增,

∴的取值范圍是.