Question

（2012•平遙縣模擬）已知函數f（x）=x²+alnx
（Ⅰ）當a=-2時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+

2

x

在[1，+∞）上是單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用導數的正負，可得函數的單調遞增區間與單調遞減區間；
（Ⅱ）由題意得g'（x）=2x+

a

x

-

2

x2

，分函數g（x）為[1，+∞）上的單調增函數與單調減函數討論，即可確定實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導函數可得f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

（x＞0）
令f′（x）＞0，則-1＜x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，則x＜-1或0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴函數的單調遞增區間是（1，+∞），單調遞減區間是（0，1）．
（Ⅱ）由題意得g'（x）=2x+

a

x

-

2

x2

，
①若函數g（x）為[1，+∞）上的單調增函數，則2x+

a

x

-

2

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥

2

x

-2x² 在[1，+∞）上恒成立，
設Φ（x）=

2

x

-2x²，∵Φ（x）在[1，+∞）上單調遞減，
∴Φ（x）≤Φ（1）=0，∴a≥0
②若函數g（x）為[1，+∞）上的單調減函數，則 g'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，不可能．
∴實數a的取值范圍[0，+∞）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，正確運用分離參數法是關鍵．