Question

（2012•平遙縣模擬）把正方形AA₁B₁B以邊AA₁所在直線為軸旋轉90⁰到正方形AA₁C₁C，其中D，E，F分別為B₁A，C₁C，BC的中點．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B₁F⊥平面AEF；
（3）求二面角A-EB₁-F的大小．

Answer 1

分析：（1）取AB的中點為G，連接DG，CG；根據條件可以得到CEDG是平行四邊形即可得到結論；
（2）直接把問題轉化為證明AF⊥B₁F以及B₁F⊥EF；
（3）先建立空間直角坐標系，求出兩個半平面的法向量，再代入向量的夾角計算公式即可．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）設AB的中點為G，連接DG，CG
∵D是A₁B的中點
∴DG∥A₁A且DG=

1

2

A1A…（2分）
∵E是C₁C的中點
∴CE∥A₁A且CE=

1

2

A1A，
∴CE∥DG且CE=DG
∴CEDG是平行四邊形，
∴DE∥GC
∵DE?平面ABC，GC?平面ABC，
∴DE∥平面ABC…（4分）
（2）∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且F是BC的中點
∴AF⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁
∴AF⊥平面BCC₁B₁
∴AF⊥B₁F…（6分）
設AB=AA₁=2，則在B₁FE中，B1F=

6

，
則EF=

3

，B₁E=3
∴B1E2=B1F2+EF2=9
∴△B₁FE是直角三角形，
∴B₁F⊥EF
∵AF∩EF=F
∴B₁F⊥平面AEF…（8分）
（3）分別以AB，AC，AA₁為x，y，z軸建立空間直角
坐標系A-xyz如圖，
設AB=AA₁=2，則
設A（0，0，0），B₁（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），D（1，0，1）…（9分）
∵AF⊥平面BCC₁B₁，
∴面B₁FE的法向量為

AF

=（1，1，0），…（10分）
設平面AB₁E的法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

AE

=(0，2，1)，

AD

=(1，0，1)
∴

AE

•

n

=0，

AD

•

n

=0，
∴2y+z=0，，x+z=0，
不妨設z=-2，可得

n

=(2，1，-2)…（11分）
∴cos＜

n

，

AF

＞=

n • AF

| n || AF |

=

3

3 2

=

2

2

∵二面角A-EB₁-F是銳角，
∴二面角A-EB₁-F的大小45°…（12分）

點評：本題第三問主要考查利用空間向量知識求二面角，解決問題的關鍵是建立適當的坐標系，并準確求出兩個半平面的法向量．