Question

在如圖的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，∥，，，．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證直線與平面內的兩條相交直線垂直，在題中已經有，另一條直線應該是，在中，由已知易證；（2）求直線與平面所成的角，要找到在平面內的射影，這里線面的交點沒給出，垂直關系也比較難找，但由（1）的證明可得兩兩垂直，因此我們可以以他們為坐標軸建立空間直角坐標系，用空間向量來求線面角，只要求出平面的一個法向量，那么向量與的夾角的余弦值等于直線與平面所成角的正弦值．
（1）證明：因為，
在△中，由余弦定理可得．所以．所以．
因為，，、平面，所以平面．  -4分
（2）由（1）知，平面，平面，所以．
因為平面為正方形，所以．
因為，所以平面．
所以，，兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標系．

因為是等腰梯形，且，
所以．
不妨設，則，，，
，，