Question

【題目】已知定義在上的奇函數(shù)滿足．且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

f（x）為周期為4的函數(shù)，且是奇函數(shù)．0在函數(shù)定義域內(nèi)，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一個(gè)周期內(nèi)f（x）的圖象，求出該周期內(nèi)使f（x）≥1﹣log23成立的x的范圍，從而推出的范圍，再分t的范圍討論即可．

解：由題意，f（x）為周期為4的函數(shù)，且是奇函數(shù)．0在函數(shù)定義域內(nèi)，故f（0）＝0，得a＝1，

所以當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）＝log2（x+1），

當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，﹣x∈[0，1]，此時(shí)f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），

又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），

所以f（x）以x＝1為對(duì)稱軸．且當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)f（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈[1，3]時(shí)f（x）單調(diào)遞減．

當(dāng)x∈[﹣1，3]時(shí)，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，

所以在[﹣1，3]內(nèi)當(dāng)f（x）＞1﹣log23時(shí)，x∈[，]．

設(shè)g（x），若對(duì)于x屬于[0，1]都有，

因?yàn)?/span>g（0）∈[，]．

故g（x）∈[，]．

①當(dāng)0時(shí)，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，

故g（x）∈[t，][，]．得t≥0，無解．

②0≤t≤1時(shí)，，此時(shí)g（t）最大，g（1）最小，

即g（x）∈[t﹣1，][，]．得t∈[0，1]．

③當(dāng)1＜t≤2時(shí)，即，此時(shí)g（0）最小，g（t）最大，

即g（x）∈[，][，]．得t∈（1，2]，

④當(dāng)t＞2時(shí)，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，

故g（x）∈[，t][，]．解得，t∈（2，3]，

綜上t∈[0，3]．

故填：[0，3]．