Question

11．某公司有A、B、C、D、E五輛汽車，其中A、B兩輛汽車的車牌尾號均為1，C、D兩輛汽車的車牌尾號均為2，E車的車牌尾號為6．已知在非限行日，每輛車可能出車或不出車，A、B、E三輛汽車每天出車的概率均為$\frac{2}{3}$，C、D兩輛汽車每天出車的概率均為$\frac{1}{2}$，五輛汽車是否出車相互獨立，該公司所在地區汽車限行規定如下：

工作日	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五
限行車牌尾號	0和5	1和6	2和7	3和8	4和9

例如，星期一禁止車牌尾號為0和5的車輛通行．
（1）求該公司在星期一至少有2輛汽車出車的概率；
（2）設X表示該公司在星期二和星期三兩天出車的車輛數之和，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （1）記事件A“該公司在星期一至少有2輛車出車”，利用獨立重復試驗的概率乘法公式，求解即可；
（2）X的可能取值為0，1，2，3，4，5，求出對應的概率，寫出分布列，計算數學期望值．

解答 解：（1）記事件A“該公司在星期一至少有2輛車出車”，
則P（A）=1-${（\frac{1}{2}）}^{3}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$-${C}_{3}^{1}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$-${C}_{2}^{1}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$
=1-$\frac{1}{72}$-$\frac{3}{72}$-$\frac{4}{72}$
=$\frac{8}{9}$；
（2）根據題意，X的可能取值為0，1，2，3，4，5；
則P（X=0）=${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{1}{72}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${C}_{3}^{1}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{7}{72}$，
P（X=2）=${（\frac{2}{3}）}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$•${C}_{3}^{1}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{19}{72}$，
P（X=3）=${（\frac{2}{3}）}^{2}$•${C}_{3}^{1}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$•${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{25}{72}$，
P（X=4）=${（\frac{2}{3}）}^{2}$•${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{16}{72}$，
P（X=5）=${（\frac{2}{3}）}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{4}{72}$；
∴隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{72}$	$\frac{7}{72}$	$\frac{19}{72}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{16}{72}$	$\frac{4}{72}$

數學期望為E（X）=0×$\frac{1}{72}$+1×$\frac{7}{72}$+2×$\frac{19}{72}$+3×$\frac{25}{72}$+4×$\frac{16}{72}$+5×$\frac{4}{72}$=$\frac{17}{6}$．

點評 本題考查了獨立重復試驗的概率求法問題，也考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是中檔題．