Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，是橢圓上兩點，是坐標原點，且，，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于和，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）[].

【解析】

試題（1）根據橢圓幾何性質以及定義得a，再根據離心率得c，解得b，（2）設直線方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理以及弦長公式得；再根據分式函數求值域，即得的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）連接，由知直線過原點，根據橢圓的對稱性知，

由橢圓的定義知，∴，

由題知，∴，∴，

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）①當直線有一條斜率不存在時，．

②當斜率存在且不為0時，設方程為，.

聯立方程，得，消去整理得．

．

= =．

把代入上式，得，

，

設，，，

設=，，

令，則，=（），

∴，∴，

．

綜上，的取值范圍是[].