Question

已知數列{a_n}滿足

1

3

a_n≤a_n+1≤3a_n，n∈N^*，a₁=1．
（1）若a₂=2，a₃=x，a₄=9，求x的取值范圍；
（2）設{a_n}是公比為q的等比數列，S_n=a₁+a₂+…a_n，若

1

3

S_n≤S_n+1≤3S_n，n∈N^*，求q的取值范圍．
（3）若a₁，a₂，…a_k成等差數列，且a₁+a₂+…a_k=1000，求正整數k的最大值，以及k取最大值時相應數列a₁，a₂，…a_k的公差．

Answer 1

考點：等比數列的性質,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）依題意：

1

3

a2≤a3≤3a2，又

1

3

a3≤a4≤3a3將已知代入求出x的范圍；
（2）先求出通項：an=qn-1，由

1

3

a1≤a2≤3a1求出

1

3

≤q≤3，對q分類討論求出S_n分別代入不等式

1

3

S_n≤S_n+1≤3S_n，得到關于q的不等式組，解不等式組求出q的范圍．
（3）依題意得到關于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值時a₁，a₂，…a_k的公差．

解答： 解：（1）依題意：

1

3

a2≤a3≤3a2，
∴

2

3

≤x≤6；又

1

3

a3≤a4≤3a3
∴3≤x≤27，
綜上可得：3≤x≤6
（2）由已知得，an=qn-1，

1

3

a1≤a2≤3a1，
∴

1

3

≤q≤3，
當q=1時，S_n=n，

1

3

S_n≤S_n+1≤3S_n，即

n

3

≤n+1≤3n，成立．
當1＜q≤3時，Sn=

qn-1

q-1

，

1

3

S_n≤S_n+1≤3S_n，即

1

3

qn-1

q-1

≤

qn+1-1

q-1

≤3

qn-1

q-1

，
∴

1

3

≤

qn+1-1

qn-1

≤3
不等式

3qn+1-qn-2≥0 qn+1-3qn+2≤0

∵q＞1，故3qⁿ⁺¹-qⁿ-2=qⁿ（3q-1）-2＞2qⁿ-2＞0對于不等式qⁿ⁺¹-3qⁿ+2≤0，令n=1，
得q²-3q+2≤0，
解得1≤q≤2，又當1≤q≤2，q-3＜0，
∴qⁿ⁺¹-3qⁿ+2=qⁿ（q-3）+2≤q（q-3）+2=（q-1）（q-2）≤0成立，
∴1＜q≤2，
當

1

3

≤q＜1時，
Sn=

qn-1

q-1

，

1

3

S_n≤S_n+1≤3S_n，即

1

3

1-qn

1-q

≤

1-qn+1

1-q

≤3

1-qn

1-q

，
∴此不等式即

3qn+1-qn-2≤0 qn+1-3qn+2≥0

，
3q-1＞0，q-3＜0，
3qⁿ⁺¹-qⁿ-2=qⁿ（3q-1）-2＜2qⁿ-2＜0，
qⁿ⁺¹-3qⁿ+2=qⁿ（q-3）+2≥q（q-3）+2=（q-1）（q-2）＞0
∴

1

3

≤q＜1時，不等式恒成立，
上，q的取值范圍為：

1

3

≤q≤2．
（3）設a₁，a₂，…a_k的公差為d．由

1

3

an≤an+1≤3an，且a₁=1，
得

1

3

[1+(n-1)d]≤1+nd≤3[1+(n-1)d]，n=1，2，…，k-1
即

(2n+1)d≥-2 (2n-3)d≥-2

 n=1，2，…，k-1
當n=1時，-

2

3

≤d≤2；
當n=2，3，…，k-1時，由

-2

2n+1

＞

-2

2n-3

，得d≥

-2

2n+1

，
所以d≥

-2

2k-1

≥-

2

3

，
所以1000=ka1+

k(k-1)

2

d≥k+

k(k-1)

2

•

-2

2k-1

，即k²-2000k+1000≤0，
得k≤1999
所以k的最大值為1999，k=1999時，a₁，a₂，…a_k的公差為-

1

1999

．

點評：本題考查等比數列的通項公式及前n項和的求法；考查不等式組的解法；找好分類討論的起點是解決本題的關鍵，屬于一道難題．