Question

【題目】已知圓 M與圓N：（x﹣ ）2+（y+ ）2=r2關于直線y=x對稱，且點D（﹣ ， ）在圓M上．
（1）判斷圓M與圓N的公切線的條數；
（2）設P為圓M上任意一點，A（﹣1， ），B（1， ），P，A，B三點不共線，PG為∠APB的平分線，且交AB于G，求證：△PBG與△APG的面積之比為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于點N（ ，﹣ ）關于直線y=x對稱點M（﹣ ， ），

r=|ND|= ，故圓M的方程為：（x+ ）2+（y﹣ ）2= ．

根據|MN|= = ＞2r，故兩圓相離，

∴圓M與圓N的公切線有4條．

（2）證明：設∠PAB=2α，則∠APG=∠BPG=α，∴△PBG與△APG的面積之比= ．

設點P（x，y），則：（x+ ）2+（y﹣ ）2= ．

PA2=（x+1）2+（y﹣ ）2 =（x+1）2+ ﹣（x+ ）2=﹣ x；

PB2=（x﹣1）2+（y﹣ ）2 =（x﹣1）2+ ﹣（x+ ）2=﹣ x；

∴ =2，即△PBG與△APG的面積之比=2．

【解析】（1）先求得點N關于直線y=x對稱點M的坐標，可得圓M的方程，再根據圓心距大于兩圓的半徑之和，可得兩圓相離，即可得出結論；（2）設∠PAB=2α，則∠APG=∠BPG=α，可得△PBG與△APG的面積之比= ．設點P（x，y），求得PA2和 PB2的值，可得 的值，即為△PBG與△APG的面積之比．