Question

【題目】已知函數f（x）的導函數為f′（x），滿足xf′（x）+2f（x）= ，且f（e）=
（Ⅰ）求f（x）的表達式
（Ⅱ）求函數f（x）在[1，e2]上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由xf′（x）+2f（x）= x2f′（x）+2xf（x）=lnx（x2f（x））′=lnx，
設x2f（x）=xlnx﹣x+c，
∵f（e）= ，故c= ，
∴x2f（x）=xlnx﹣x+ ，
∴f（x）= ﹣ + （x＞0）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）= ，
令h（x）=2x﹣xlnx﹣e，則h′（x）=1﹣lnx，
故h（x）在（0，e）遞增，（e，+∞）遞減，
而h（e）=0，故h（x）≤0，即f′（x）≤0，
∴f（x）在（0，+∞）為減，f（x）在[1，e2]遞減，
故f（x）max=f（1）= ﹣1，f（x）min=f（e2）= ．
【解析】（Ⅰ）得到（x2f（x））′=lnx，設x2f（x）=xlnx﹣x+c，根據f（e）= ，求出c的值，從而求出f（x）的解析式；（Ⅱ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最值即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．