【題目】已知橢圓
的左頂點為A1，右焦點為F2，過點F2作垂直于x軸的直線交該橢圓于M、N兩點，直線A1M的斜率為
．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若△A1MN的外接圓在M處的切線與橢圓相交所得弦長為
，求橢圓方程．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】
試題（Ⅰ）由已知得點
坐標，由
，得
，解得
；（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
，又外心
在
軸上，設為
，則由
，解得
，故
，所以經過點的切線方程為
，聯立橢圓方程，消去
，得
，則由弦長公式可得弦長為
，解得
，故所求方程為.
試題解析：（Ⅰ）由題意
因為A1（﹣a，0），所以
將b2=a2﹣c2代入上式并整理得
（或a=2c）
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，
（或
）
所以A1（﹣2c，0）
，外接圓圓心設為P（x0，0）
由|PA1|=|PM|，得
解得：
所以
所以△A1MN外接圓在M處切線斜率為
，設該切線與橢圓另一交點為C
則切線MC方程為
，即
與橢圓方程3x2+4y2=12c2聯立得7x2﹣18cx+11c2=0
解得
由弦長公式
得
解得c=1
所以橢圓方程為
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【題目】設
，
是兩個平面，
，
是兩條直線，下列命題錯誤的是（ ）
A.如果
，
，那么
.
B.如果
，
，那么
.
C.如果，，
，那么
.
D.如果內有兩條相交直線與平行，那么.
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【題目】已知橢圓
的離心率為
，M是橢圓C的上頂點，
，F2是橢圓C的焦點，
的周長是6．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過動點P（1，t）作直線交橢圓C于A，B兩點，且|PA|=|PB|，過P作直線l，使l與直線AB垂直，證明：直線l恒過定點，并求此定點的坐標．
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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線C的極坐標方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l過點M（1，0），傾斜角為
．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程與直線l的參數方程；
（Ⅱ）若曲線C經過伸縮變換
后得到曲線C′，且直線l與曲線C′交于A，B兩點，求|MA|+|MB|．
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【題目】（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°.
（Ⅰ）證明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值。
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【題目】如圖，在三棱柱
中，側面
底面
，四邊形
為菱形，
是邊長為2的等邊三角形，
，點
為
的中點.
（1）若平面
與平面交于直線
，求證：
；
（2）求二面角
的余弦值.
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【題目】設
是首項為
，公差為
的等差數列，
是首項為
，公比為q的等比數列．
（1）設
，若
對
均成立，求d的取值范圍；
（2）若
，證明：存在
，使得對n=2，3，···，m+1均成立，并求d的取值范圍（用
表示）．
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