Question

【題目】設是首項為，公差為的等差數列，是首項為，公比為q的等比數列．

（1）設，若對均成立，求d的取值范圍；

（2）若，證明：存在，使得對n=2，3，···，m+1均成立，并求d的取值范圍（用表示）．

Answer 1

【答案】（1）．（2）.

【解析】

（1）根據等比數列和等差數列的通項公式，解不等式即可；

（2）根據數列和不等式的關系，利用不等式的關系構造新數列和函數，判斷數列和函數的單調性和性質進行求解即可.

解：（1）由條件知：．

因為對n=1，2，3，4均成立，

即對n=1，2，3，4均成立，

即得

因此，d的取值范圍為．

（2）由條件知：．

若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，

即，

即當時，d滿足．

因為，則，

從而，對均成立．

因此，取d=0時，對均成立．

下面討論數列的最大值和數列的最小值（）．

①當時，，

當時,有，從而.

因此，當時，數列單調遞增，

故數列的最大值為．

②設，當時，，

所以單調遞減，從而<f（0）=1．

當時，，

因此，當時，數列單調遞減，

故數列的最小值為．

因此，d的取值范圍為．