Question

【題目】(2015·湖北）已知數列的各項均為正數， ， 為自然對數的底數．
（1）求函數的單調區間，并比較與的大小；
（2）計算 ， ， ， 由此推測計算的公式，并給出證明；
（3）令 ， 數列 ， 的前項和分別記為,, 證明：.

Answer 1

【答案】
（1）

的單調遞增區間為,單調遞減區間為.

.

（2）

,

下面用數學歸納法證明②。

（1）當時，左邊=右邊=2，②成立。

（2）假設當時，②成立，即.當時，,有歸納假設可得.所以當時，②也成立。根據（1）（2），可知②對一切正整數都成立。

（3）

【解析】1.的定義域為 ， .當 ， 即時，單調遞增；當 ， 即時，單調遞減。故的單調遞增區間為,單調遞減區間為.當時，,即.令,得,即.①
2.;;.由此推測：,②
下面用數學歸納法證明②。
（1）當時，左邊=右邊=2，②成立。
（2）假設當時，②成立，即.當時，,有歸納假設可得.所以當時，②也成立。根據（1）（2），可知②對一切正整數都成立。
3.
由的定義，② ， 算術-集合平均不等式，的定義及①得
.即.
【考點精析】本題主要考查了基本不等式和數列的定義和表示的相關知識點，需要掌握基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：；數列中的每個數都叫這個數列的項．記作an，在數列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，……，序號為n的項叫第n項（也叫通項）記作an才能正確解答此題．