Question

已知P為△ABC所在平面外一點，G₁、G₂、G₃分別是△PAB、△PCB、△PAC的重心.
（1）求證：平面G₁G₂G₃∥平面ABC；
（2）求S_△∶S_△ABC.

Answer 1

（1）證明略（2）S_△∶S_△ABC=1∶9

（1） 如圖所示，連接PG₁、PG₂、PG₃并延長分別與邊AB、BC、AC交于點D、E、F，連接DE、EF、FD，則有PG₁∶PD=2∶3，

PG₂∶PE=2∶3，∴G₁G₂∥DE.
又G₁G₂不在平面ABC內，
∴G₁G₂∥平面ABC.同理G₂G₃∥平面ABC.
又因為G₁G₂∩G₂G₃=G₂，
∴平面G₁G₂G₃∥平面ABC.
（2） 由（1）知=，∴G₁G₂=DE.
又DE=AC，∴G₁G₂=AC.
同理G₂G₃=AB，G₁G₃=BC.
∴△G₁G₂G₃∽△CAB，其相似比為1∶3，
∴S_△∶S_△ABC=1∶9.