Question

已知函數.
（Ⅰ）討論函數的單調區間；
（Ⅱ）當時，若函數在區間上的最大值為28，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）當時，在內單調遞增，在內單調遞減；當時，在單調遞增；當時，在內單調遞增，在內單調遞減；（Ⅱ）即的取值范圍是．

解析試題分析：（Ⅰ）討論函數的單調區間，它的解題方法有兩種：一是利用定義，二是導數法，本題由于是三次函數，可用導數法求單調區間，只需求出的導函數，判斷的導函數的符號，從而求出的單調區間；但本題求導后令，得，由于不知的大小，因此需要對進行分類討論，從而確定在各種情況下的單調區間；（Ⅱ）當時，若函數在區間上的最大值為28，求的取值范圍，這是函數在閉區間上的最值問題，像這一類問題的處理方法為，先求出的極值點，然后分別求出極值點與區間端點處的函數值，比較誰大誰為最大值，比較誰小誰為最小值，但本題是給出最大值，確定區間端點的取值范圍，只需找出包含最大值28的的取值范圍，，故故區間內必須含有，即的取值范圍是．
試題解析：（Ⅰ），令得，
（ⅰ）當，即時，，在單調遞增，
（ⅱ）當，即時，當，或時，，在、內單調遞增，當時，在內單調遞減，
（ⅲ）當，即時，當時，在內單調遞增
當時，在內單調遞減   ，
綜上，當時，在內單調遞增，在內單調遞減；當時，在單調遞增；當時，在內單調遞增，在內單調遞減；
（Ⅱ）當時，，，令得，將，，變化情況列表如下：