Question

設函數f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+ax．
（Ⅰ）函數f（x）在（11，2012）內單調遞減，求a范圍；
（Ⅱ）若實數a滿足1＜a≤2，函數g（x）=4x³+3bx²-6（b+2）x（b∈R）的極小值點與f（x）的極小值點相同，求證：g（x）的極大值小于等于10．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），由題意知，a≥2012
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=（x-1）（x-a）．由1＜a≤2，得到函數f（x）的極小值點，
求導g′（x），得到函數g（x）的極小值點a=-

b+2

2

，進而得到g（x）的極大值點，得到函數的極大值，
又由1＜a≤2，得到g（x）_極大值=g（1）=6a-2≤10．得證．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
由于函數f（x）在（11，2012）內單調遞減，則a≥2012；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f′（x）=（x-1）（x-a）．
由于a＞1，所以f （x）的極小值點x=a，則g（x）的極小值點也為x=a．
而g′（x）=12x²+6bx-6（b+2）=6（x-1）（2x+b+2），所以a=-

b+2

2

，
即b=-2（a+1）．又因為1＜a≤2，
所以  g（x）_極大值=g（1）=4+3b-6（b+2）=-3b-8=6a-2≤10．
故g（x）的極大值小于等于10．

點評：此題要求學生會利用導函數的正負研究函數的單調性，是一道中檔題．