Question

設函數f（x）=

1

3

 x³+bx²+cx（c＜b＜1）在x=1處取到一個極小值，且存在實數m，使f′（m）=-1，
①證明：-3＜c≤-1；
②判斷f′（m-4）的正負并加以證明；
③若f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于

-2c

3

，求f（x）在x∈[m-4，1]上的最小值．

Answer 1

分析：①存在實數m，使f′（m）=-1，得到關于m的一元二次方程有實數根，用根的判別式列出關于b、c的不等式，結合函數在x=1處取到極小值，說明f′（1）=0，消去b得到關于c的一元二次不等式，最后結合c＜b＜1解出c取值范圍．
②函數的導數是關于x的二次函數，其圖象開口向上，在區間（c，1）上取值為負，而f′（m）=-1為負，得到-3＜c＜m＜1，從而得到-7＜m-4＜-3，因此f′（m-4）的符號為正．
③由②f′（m-4）＞0且在x=1時函數f（x）取到極小值，得到函數f（x）的單調性：在（-∞，c）和（1，+∞）上為增函數，在（c，1）上為減函數．因此m-4≤c，f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值為f（c），從而解出c=-1且m=0，得出函數的表達式為f（x）=

1

3

 x³-x，最后可得f（x）在x∈[-4，1]上的最小值．

解答：解：①求出f′（x）=x²+2bx+c；
∴f′（1）=1+2b+c=0⇒b=

-1-c

2

且f′（m）=m²+（-1-c）m+c=-1；
∴m²-（1+c）m+c+1=0，
∴△=（1+c）²-4（1+c）≥0，則c≥3或c≤-1；
又∵b=

-1-c

2

＜1
∴c＞-3；又b=

-1-c

2

＞c，則有c＜

-1

3

，∴-3＜c≤-1．…（4分）
②f′（x）=x²+（-1-c）x+c=（x-c） （x-1），
其圖象開口向上，對稱軸為：-1＜x₀=

1+c

2

＜0；
∵f′（m）=-1＜0，
∴-3＜c＜m＜1；
則-7＜m-4＜-3⇒f′（m-4）＞0；…（9分）
③由于f′（m-4）＞0；
∵函數f（x）在x=1處取到一個極小值，
∴函數f（x）在（-∞，c）和（1，+∞）上為增函數，在（c，1）上為減函數，
∴m-4≤c，
f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于f（c）=

1

3

 c³+

(-1-c)

2

•c²+c²=

-2c

3

，
∴c=-1，或c=4（舍去）；
由f′（m）=-1，可得m=0，則f（x）=

1

3

 x³-x，（x∈[-4，1]）
∴函數的最小值為f（-4）=

-52

3

．…（13分）

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值、函數在某點取得極值的條件和得用導數求閉區間上函數的最值等知識點，屬于中檔題．