Question

如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，,是邊長為2的等邊三角形，,.

（Ⅰ）求證：底面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，=

試題分析：（Ⅰ）,所以為中點。因為等邊三角形中線即為高線，等腰三角形底邊中線也為高線，可證得，根據線面垂直的判定定理可得底面。（Ⅱ）直線與平面在圖中沒有標示出交點，故用空間向量法較簡單。根據底面為菱形和底面可建立以為原點的空間直角坐標系。求點坐標可根據，得,即可求點的坐標，也可根據求。先求面的法向量，此法向量與所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值。（Ⅲ）假設在線段上存在一點，使得∥平面。設，可得點坐標，在（Ⅱ）中以求出面的法向量，因為∥平面，所以垂直與的法向量，可求得的值，若說明假設成立，否則假設不成立。
試題解析：解：（Ⅰ）因為底面是菱形，,
所以為中點.                      1分
又因為,
所以,                                   3分[
所以底面.                                    4分
（Ⅱ）由底面是菱形可得,
又由（Ⅰ）可知.
如圖，以為原點建立空間直角坐標系.

由是邊長為2的等邊三角形，，
可得.
所以.            5分
所以,.
由已知可得            6分
設平面的法向量為，則
即
令，則，所以.          8分
因為，          9分
所以直線與平面所成角的正弦值為，
所以直線與平面所成角的大小為.                   10分
（Ⅲ）設，則
.         11分
若使∥平面，需且僅需且平面，      12分
解得,          13分
所以在線段上存在一點，使得∥平面.
此時=.                                              14分