Question

【題目】設函數f（x）=x2eax ， a＞0．
（1）證明：函數y=f（x）在（0，+∞）上為增函數；
（2）若方程f（x）﹣1=0有且只有兩個不同的實數根，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x）的定義域R，求導，f′（x）=2xeax+ax2eax=xeax（ax+2），

當x∈（0，+∞）時，a＞0，則eax＞0，則xeax（ax+2）＞0，

則f′（x）＞0，

∴函數y=f（x）在（0，+∞）上為增函數

（2）令f′（x）=0，記得x=﹣v或x=0，

x	（﹣∞，﹣ ）		（ ，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

則當x=﹣ 時，函數有極大值f（﹣ ）= ，

當x=0時，函數有極小值f（0）=0，

當x＜0時，f（x）＞0，x→﹣∞時，f（x）→0，x→+∞時，f（x）→+∞，

由f（x）﹣1=0，即f（x）=1有且只有兩個不同的實數根，

即 =1，解得：a= ，（負根舍去）

實數a的值

【解析】（1）求導，由x∈（0，+∞）則f′（x）＞0，則函數y=f（x）在（0，+∞）上為增函數；（2）求導，f′（x）=0，根據函數的單調性即可求得f（x）極大值，由f（x）=1有且只有兩個不同的實數根，即 =1，即可求得實數a的值．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．