Question

【題目】已知函數，．

（1）若函數在上是增函數，求實數的取值范圍；

（2）若存在實數使得關于的方程有三個不相等的實數根，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題（1）把函數化簡為，這個分段函數是由兩個二次函數構成，右邊是開口向上的拋物線的一部分，對稱軸是，左邊是開口向下的拋物線的一部分，對稱軸是，為了使函數為增函數，因此有；（2）方程有三個不相等的實數根，就是函數的圖象與直線有三個不同的交點，為此研究函數的單調性，由（1）知當時，在上單調遞增，不合題意，當時，，在上單調增，在上單調減，在上單調增，關于的方程有三個不相等的實數根的條件是， 由此有，因為，則有，由于題中是存在，故只要大于1且小于的最大值；當時同理討論即可．

試題解析：（1），

當時，的對稱軸為：；

當時，的對稱軸為：；

∴當時，在R上是增函數，

即時，函數在上是增函數；

（2）方程的解即為方程的解．

①當時，函數在上是增函數，

∴關于的方程不可能有三個不相等的實數根；

②當時，即，

∴在上單調增，在上單調減，在上單調增，

∴當時，關于的方程有三個不相等的實數根；即，

∵∴．

設，

∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數根，

∴，

又可證在上單調增

∴∴；

③當時，即，∴在上單調增，在上單調減，在上單調增，

∴當時，關于的方程有三個不相等的實數根；

即，∵∴，設

∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數根，

∴，又可證在上單調減∴

∴；

綜上：．