Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為 （α為參數），將曲線C1上所有點的橫坐標縮短為原來的 ，縱坐標縮短為原來的 ，得到曲線C2 ， 在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為4ρsin（θ+ ）+ =0．
（1）求曲線C2的極坐標方程及直線l與曲線C2交點的極坐標；
（2）設點P為曲線C1上的任意一點，求點P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C1的參數方程為 （α為參數），

可得曲線C1的參數方程為 （α為參數），

利用同角三角函數的基本關系消去α，

可得x2+y2﹣x﹣ =0，極坐標方程為ρ2﹣ρcosθ﹣ =0

直線l的極坐標方程為4ρsin（θ+ ）+ =0，即4ρ（ sinθ+ cosθ）+ =0，

即2 x+2y+ =0．

聯立方程可得交點坐標（﹣ ，0），（0，﹣ ），

極坐標為（ ，π），（ ， ）

（2）解：設P（1+2cosα， sinα），

則點P到直線l的距離d= （tanθ=2），

∴點P到直線l的距離的最大值為

【解析】（1）利用極坐標和直角坐標的互化公式把直線l的極坐標方程化為直角坐標方程．利用同角三角函數的基本關系消去α，把曲線的參數方程化為直角坐標方程，再求出交點的極坐標；（2）設點P（1+2cosα， sinα），求得點P到直線l的距離，由此求得d的最大值．