Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E： （a＞b＞0），圓O：x2+y2=r2（0＜r＜b），若圓O的一條切線l：y=kx+m與橢圓E相交于A，B兩點．
（Ⅰ）當k=﹣ ，r=1時，若點A，B都在坐標軸的正半軸上，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓經過坐標原點O，探究a，b，r之間的等量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意原點O到切線l：y=﹣ x+m的距離為半徑1，∴ ，m= ，
切線l：y=﹣ x+ ，A（0， ），B（ ，0）
∴a= ，b= ，∴橢圓E的方程為： ．
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
聯立 ，得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．
．
．
∵以AB為直徑的圓經過坐標原點O，∴ ；
（k2+1）x1x2+km（x1+x2）=m2（a2+b2）=（k2+1）a2b2…①
又∵圓O的一條切線l：y=kx+m，∴原點O到切線l：y=kx+m的距離為半徑rm2=（1+k2）r2…②
由①②得r2（a2+b2）=a2b2 ．
∴以AB為直徑的圓經過坐標原點O，則a，b，r之間的等量關為：r2（a2+b2）=a2b2 ．
【解析】（Ⅰ）依題意原點O到切線l：y=﹣ x+m的距離為半徑1，m= ，A（0， ），B（ ，0）代入橢圓方程，求出a、b即可（2）由原點O到切線l：y=kx+m的距離為半徑rm2=（1+k2）r2 ． 聯立直線方程和與橢圓的方程，利用 求解．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．