Question

【題目】已知函數(shù)（），是的導(dǎo)數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，令，為的導(dǎo)數(shù).證明：在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn)；

（2）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）設(shè)，，注意到在上單增，再利用零點(diǎn)存在性定理即可解決；

（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論的最值即可.

（1）由已知，，所以，

設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，，且在上圖象連續(xù)

不斷.所以在上有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在區(qū)間上存在唯一的極小

值點(diǎn)，即在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)；

（2）設(shè)，，，

∴在單調(diào)遞增，，

即，從而，

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，

∴在上恒成立，

令，

∵，

∴，

在上單調(diào)遞減，，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，符合題意.

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以一定存在，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

與題意不符，舍去.

綜上，的取值范圍是