Question

【題目】有一塊半圓形的空地，直徑米，政府計劃在空地上建一個形狀為等腰梯形的花圃，如圖所示，其中為圓心，，在半圓上，其余為綠化部分，設(shè).

（1）記花圃的面積為，求的最大值；

（2）若花圃的造價為10元/米，在花圃的邊、處鋪設(shè)具有美化效果的灌溉管道，鋪設(shè)費(fèi)用為500元/米，兩腰、不鋪設(shè)，求滿足什么條件時，會使總造價最大.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時，總造價最大.

【解析】

（1）根據(jù)梯形的面積公式可得，解得三角函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)求得的最大值.

（2）求得花圃的總造價，然后利用導(dǎo)數(shù)求得時，總造價最大.

（1）設(shè)半徑為，則米，作，垂足為，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以

.

，

所以當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減.

所以當(dāng)時最大，最大值為.

（2）設(shè)花圃總造價為，.

.

令，則，由于，則.

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即總造價最大.