Question

【題目】已知A，B是拋物線C：y2＝4x上兩點，線段AB的垂直平分線與x軸有唯一的交點P（x0，0）．

（1）求證：x0＞2；

（2）若直線AB過拋物線C的焦點F，且|AB|＝10，求|PF|．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5

【解析】

（1）設A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），有，，用點差法，兩式相減得，有，得到線段AB的垂直平分線方程為，再令y＝0求解.

（2）由拋物線的弦長公式有|AB|＝x1+x2+p＝10，得到x1+x2＝8，再由求解.

（1）設A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），

由，，兩式相減得，

即，∴，

∴線段AB的垂直平分線方程為，

令y＝0，∵x1≠x2，∴y1+y2≠0，得，

∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，

∴x1+x2＞0，∴x0＞2．

（2）∵|AB|＝x1+x2+p＝10，

∴x1+x2＝8，

∴．