Question

【題目】已知函數f（x）=（3﹣a）x﹣2+a﹣2lnx（a∈R）
（1）若函數y=f（x）在區間（1，3）上單調，求a的取值范圍；
（2）若函數g（x）=f（x）﹣x在（0， ）上無零點，求a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3﹣a﹣ = ，

當a≥3時，有f′（x）＜0，即函數f（x）在區間（1，3）上單調遞減；

當a＜3時，令f′（x）=0，得x= ，若函數y=f（x）在區間（1，3）單調，

則 ≤1或 ≥3，解得：a≤1或 ≤a＜3，

綜上，a的范圍是（﹣∞，1]∪[ ，+∞）

（2）解：x→0時，g（x）→+∞，

∴g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx＜0在區間（0， ）上恒成立不可能，

故要使函數g（x）在（0， ）無零點，只需對任意的x∈（0， ），g（x）＞0恒成立，

即對x∈（0， ），a＞2﹣ 恒成立，

令l（x）=2﹣ ，x∈（0， ），

則l′（x）= ，

令m（x）=2lnx+ ﹣2，x∈（0， ），

則m′（x）= ＜0，

故m（x）在（0， ）上遞減，于是m（x）＞m（ ）=2﹣2ln2＞0，

從而，l′（x）＞0，于是l（x）在（0， ）遞增，

∴l（x）＜l（ ）=2﹣4ln2，

故要使a＞2﹣ 恒成立，只需a∈[2﹣4ln2，+∞），

綜上，若函數g（x）=f（x）﹣x在（0， ）上無零點，則a的最小值是2﹣4ln2

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，判斷導函數的符號，從而求出函數的單調區間即可；（2）問題轉化為對x∈（0， ），a＞2﹣ 恒成立，令l（x）=2﹣ ，x∈（0， ），根據函數的單調性求出a的范圍即可．