Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點C在橢圓M： =1（a＞b＞0）上，若點A（﹣a，0），B（0， ），且 = ．
（1）求橢圓M的離心率；
（2）設橢圓M的焦距為4，P，Q是橢圓M上不同的兩點．線段PQ的垂直平分線為直線l，且直線l不與y軸重合．
①若點P（﹣3，0），直線l過點（0，﹣ ），求直線l的方程；
②若直線l過點（0，﹣1），且與x軸的交點為D．求D點橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設C（m，n），由 = ，

可得（a， a）= （m，n﹣ ），

可得m= a，n= a，即C（ a， a），

即有 + =1，即為b2= a2，

c2=a2﹣b2= a2，

則e= =

（2）解：①由題意可得c=2，a=3，b= = ，

即有橢圓方程為 =1，

設直線PQ的方程為y=k（x+3），

代入橢圓方程可得（5+9k2）x2+54k2x+81k2﹣45=0，

x1+x2=﹣ ，PQ的中點H為（﹣ ， ），

由題意可得直線l的斜率為 =﹣ ，

解得k=1或 ，

即有直線l的方程為y=﹣x﹣ 或y=﹣ x﹣ ；

②設直線PQ的方程為y=kx+m，

代入橢圓方程可得，（5+9k2）x2+18kmx+9m2﹣45=0，

可得x1+x2=﹣ ，

即有PQ的中點為（﹣ ， ），

由題意可得直線l的斜率為 =﹣ ，

化簡可得4m=5+9k2，中點坐標即為（﹣ ， ），

由中點在橢圓內，可得 + ＜1，

解得﹣ ＜k＜ ，

由直線l的方程為y=﹣ x﹣1，

可得D的橫坐標為﹣k，可得范圍是（﹣ ，0）∪（0， ）．

【解析】（1）設C（m，n），由向量共線的坐標表示，可得C的坐標，代入橢圓方程，可得a，b的關系，再由離心率公式計算即可得到所求值；（2）①由題意可得c=2，a=3，b= = ，可得橢圓方程，設直線PQ的方程為y=k（x+3），代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，解方程可得k，進而得到所求直線方程；②設直線PQ的方程為y=kx+m，代入橢圓方程可得，運用韋達定理和中點坐標公式，再由兩直線垂直的條件，求得4m=5+9k2 ， 再由中點在橢圓內，可得k的范圍，再由直線l的方程可得D的橫坐標的范圍．