Question

已知函數f（x）=π（x-cosx）-2sinx-2，g（x）=（x-π）

1-sinx 1+sinx

+

2x

π

-1．
證明：
（Ⅰ）存在唯一x₀∈（0，

π

2

），使f（x₀）=0；
（Ⅱ）存在唯一x₁∈（

π

2

，π），使g（x₁）=0，且對（Ⅰ）中的x₀，有x₀+x₁＞π．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）導數法可判f（x）在（0，

π

2

）上為增函數，又可判函數有零點，故必唯一；（Ⅱ）化簡可得g（x）=（π-x）

cosx

1+sinx

+

2x

π

-1，換元法，令t=π-x，記u（t）=g（π-t）=-

tcost

1+sint

-

2

π

t+1，t∈[0，

π

2

]，由導數法可得函數的零點，可得不等式．

解答： 解：（Ⅰ）當x∈（0，

π

2

）時，f′（x）=π+πsinx-2cosx＞0，
∴f（x）在（0，

π

2

）上為增函數，
又f（0）=-π-2＜0，f（

π

2

）=

π2

2

-4＞0，
∴存在唯一x₀∈（0，

π

2

），使f（x₀）=0；
（Ⅱ）當x∈[

π

2

，π]時，
化簡可得g（x）=（x-π）

1-sinx 1+sinx

+

2x

π

-1
=（π-x）

cosx

1+sinx

+

2x

π

-1，
令t=π-x，記u（t）=g（π-t）=-

tcost

1+sint

-

2

π

t+1，t∈[0，

π

2

]，
求導數可得u′（t）=

f(t)

π(1+sint)

，
由（Ⅰ）得，當t∈（0，x₀）時，u′（t）＜0，當t∈（x₀，

π

2

）時，u′（t）＞0，
∴函數u（t）在（x₀，

π

2

）上為增函數，
由u（

π

2

）=0知，當t∈[x₀，

π

2

）時，u（t）＜0，
∴函數u（t）在[x₀，

π

2

）上無零點；
函數u（t）在（0，x₀）上為減函數，
由u（0）=1及u（x₀）＜0知存在唯一t₀∈（0，x₀），使u（t₀）=0，
于是存在唯一t₀∈（0，

π

2

），使u（t₀）=0，
設x₁=π-t₀∈（

π

2

，π），則g（x₁）=g（π-t₀）=u（t₀）=0，
∴存在唯一x₁∈（

π

2

，π），使g（x₁）=0，
∵x₁=π-t₀，t₀＜x₀，
∴x₀+x₁＞π

點評：本題考查零點的判定定理，涉及導數法證明函數的單調性，屬中檔題．