Question

【題目】設數列的前n項和為,已知,,.

(1)證明:為等比數列,求出的通項公式;

(2)若,求的前n項和,并判斷是否存在正整數n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析,;(2)不存在,理由見解析.

【解析】

(1)根據等比數列的定義即可證明為等比數列，再根據和的關系 ，即可求出的通項公式；

(2)根據，可采取錯位相減法求出的前n項和，然后代入得，，構造函數()，利用其單調性和零點存在性定理即可判斷是否存在．

(1)∵

∴，

因為，所以可推出．

故，即為等比數列．

∵，公比為2

∴，即，∵，當時，，也滿足此式，

∴；

(2) 因為，

∴，兩式相減得:

即，代入，得．

令()，在成立，

∴，為增函數，

而，所以不存在正整數n使得成立．