Question

【題目】已知函數

(1)若函數在定義域內單調遞增，求實數 的取值范圍，

(2)當時，關于的方程在[1,4]上恰有兩個不相等的實數根，

求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) （﹣∞，﹣1];(2) ln2﹣2＜b≤﹣

【解析】試題分析：（1）對函數f（x）進行求導，令導數大于等于0在x＞0上恒成立即可．

（2）將a的值代入整理成方程的形式，然后轉化為函數考慮其圖象與x軸的交點的問題．

試題解析：

（1）f′（x）=﹣，（x＞0）

依題意f'（x）≥0在x＞0時恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．

則a≤=（ ﹣1）2﹣1在x＞0恒成立，

即a≤（（﹣1）2﹣1）min（x＞0）

當x=1時，（﹣1）2﹣1取最小值﹣1，

∴a的取值范圍是（﹣∞，﹣1]．

（2）a=﹣，f（x）=﹣x+b，

∴x2﹣x+lnx﹣b=0

設g（x）=x2﹣x+lnx﹣b（x＞0）則g'（x）=，

列表：

X	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，4）
g′（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴g（x）極小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）極大值=g（1）=﹣b﹣，

又g（4）=2ln2﹣b﹣2

∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根．

則 ，得：ln2﹣2＜b≤﹣．