Question

2014年“五一節”期間，高速公路車輛較多，交警部門通過路面監控裝置抽樣調查某一山區路段汽車行駛速度，采用的方法是：按到達監控點先后順序，每隔50輛抽取一輛，總共抽取120輛，分別記下其行車速度，將行車速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如圖所示的頻率分布直方圖，據圖解答下列問題：
（Ⅰ）求a的值，并說明交警部門采用的是什么抽樣方法？
（Ⅱ）求這120輛車行駛速度的眾數和中位數的估計值（精確到0.1）；
（Ⅲ）若該路段的車速達到或超過90km/h即視為超速行駛，試根據樣本估計該路段車輛超速行駛的概率．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,收集數據的方法,眾數、中位數、平均數

專題：計算題,概率與統計

分析：（I）根據頻率分布直方圖中所有矩形的面積和為1求得a值，根據相同抽樣方法的特征判斷其抽樣方法；
（II）根據眾數是最高矩形底邊中點的橫坐標求眾數；根據中位數是從左數小矩形面積和為0.5的矩形底邊上點的橫坐標求中位數；
（III）利用直方圖求出樣本中車速在[90，95）頻數，利用個數比求超速車輛的概率．

解答： 解：（I）由頻率分布直方圖知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，
∴a=0.06，
該抽樣方法是系統抽樣；
（II）根據眾數是最高矩形底邊中點的橫坐標，∴眾數為77.5；
∵前三個小矩形的面積和為0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，
第四個小矩形的面積為0.06×5=0.3，
∴中位數在第四組，設中位數為75+x，則0.325+0.06×x=0.5⇒x≈2.9，
∴數據的中位數為77.9；
（III）樣本中車速在[90，95）有0.005×5×120=3（輛），
∴估計該路段車輛超速的概率P=

3

120

=

1

40

．

點評：本題考查了由樣本估計總體的思想，考查了由頻率分布直方圖求數據特征數眾數、中位數，考查了古典概型的概率計算，是概率統計的常見題型，解答要細心．