Question

（本小題滿分15分）如圖，已知橢圓：＋＝1(a＞b＞0)的長軸AB長為4，離心率e＝，O為坐標(biāo)原點，過B的直線l與x軸垂直．P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP＝PQ，連結(jié)AQ延長交直線于點M，N為的中點．

（1）求橢圓的方程；

（2）證明：Q點在以為直徑的圓上；

（3）試判斷直線QN與圓的位置關(guān)系．

 

Answer 1

【答案】

 

(1)

(2)相切

【解析】解：（1）由題設(shè)可得，解得，∴．    （2分）

∴橢圓的方程為．                                  （4分）

（2）設(shè)，則．∵，∴．

∴．                                     （7分）

∴點在以為圓心，2為半徑的的圓上．即點在以為直徑的圓上． （9分）

（3）設(shè)，則，且．又，

∴直線的方程為．令，得．又，為的中點，

∴．∴，．            （12分）

∴

．∴．                      （14分）

∴直線與圓相切．                                       （15分）