Question

【題目】已知橢圓,，過橢圓的右頂點和上頂點的直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程;

（2）設是橢圓的上頂點, 過點分別作直線交橢圓于兩點, 設這兩條直線的斜率分別為,且,證明: 直線 過定點

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）根據兩點式可得直線的方程為,再根據切線與圓位置關系得，解得（2）直線過定點問題，一般通過解直線方程，根據直線方程特征求定點：先考慮直線斜率存在的情形，，即將問題轉化為確定的關系，而，可利用點的坐標進行轉化即，再根據直線方程與橢圓方程聯立方程組，利用韋達定理代入化簡得，最后根據點斜式或方程恒成立理論求定點，直線斜率不存在的情形可代入驗證

試題解析：（1）直線過點和直線的方程為,直線與圓相切,, 解得橢圓的方程為.

（2）當直線的斜率不存在時, 設,則,由得,

得.當直線的斜率存在時, 設的方程,,

,得

,

即,

由,即,

故直線過定點.