Question

【題目】已知橢圓過點，設它的左、右焦點分別為、，左頂點為，上頂點為，且滿足．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程和離心率；

（Ⅱ）過點作不與軸垂直的直線交橢圓于、（異于點）兩點，試判斷的大小是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）橢圓的方程為，離心率；（Ⅱ）是定值，理由見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據題意建立有關、、的方程組，求出、、的值，進而可求得橢圓的標準方程和離心率；

（Ⅱ）設直線的方程為，設、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，利用平面向量數量積的坐標運算計算出，進而可得出為定值.

（Ⅰ）解：根據題意得，解得，

所以橢圓的方程為，離心率；

（Ⅱ） 因為直線不與軸垂直，所以直線的斜率不為，

設直線的方程為，設、，

聯立方程，化簡得.

顯然點在橢圓的內部，所以．

則，.

又因為，所以，．

所以，

所以，即是定值.