【題目】已知函數(shù)
．
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求
的取值范圍．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）
【解析】
（1）根據(jù)題意，討論
的范圍，令
求出增區(qū)間，令
求出減區(qū)間。
（2）由題意可知，
在
上有解，討論的范圍，判斷
的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得出結(jié)論。
（1）函數(shù)
的定義域?yàn)?/span>
．
，
①當(dāng)
即
時(shí)，
因?yàn)?/span>
時(shí)，，
所以的單調(diào)增區(qū)間為．
②當(dāng)
，即
時(shí)，令
，得
．
當(dāng)
時(shí)，；當(dāng)
時(shí)，；
所以的單調(diào)增區(qū)間為
，減區(qū)間為
．
綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，
減區(qū)間為．
（2）因?yàn)?/span>
，
所以
．
令
，
．
若函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，
則函數(shù)
在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．
又
，所以
在內(nèi)有唯一零點(diǎn)
．
且
時(shí)，
；
時(shí)，
．
則在
內(nèi)為減函數(shù)，在
內(nèi)為增函數(shù)．
又因?yàn)?/span>
且在內(nèi)存在零點(diǎn)，
所以
解得．
顯然在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記為
．
當(dāng)
時(shí)，
，
時(shí)，
，所以在點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，即在點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)唯一極值點(diǎn)．
當(dāng)
時(shí)，
，又
，在內(nèi)成立，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，故無(wú)極值點(diǎn)．
當(dāng)
時(shí)，
，
，易得
時(shí)，，故無(wú)極值點(diǎn)．
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)．
教材全解字詞句篇系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，當(dāng)
時(shí)，
的最小值為
，且對(duì)任意的
，不等式
恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是________.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中曲線C的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l過(guò)A，B兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為
.
（I）求C的普通方程和
的直角坐標(biāo)方程；
（II）若M為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線l的最小距離.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1的參數(shù)方程為
（t為參數(shù)，0＜α＜π），曲線C2的參數(shù)方程為
（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
（1）求曲線C2的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)分別為A，B，M（﹣2，0），求|MA|2+|MB|2的最大值及此時(shí)直線C1的傾斜角.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
過(guò)點(diǎn)
，設(shè)它的左、右焦點(diǎn)分別為
、
，左頂點(diǎn)為
，上頂點(diǎn)為
，且滿足
．
（Ⅰ）求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)
作不與
軸垂直的直線交橢圓于
、
（異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，試判斷
的大小是否為定值，并說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）若
在
處導(dǎo)數(shù)相等，證明：
為定值，并求出該定值；
（2）已知對(duì)于任意
，直線
與曲線
有唯一公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），圓
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)）
（1）求和的普通方程；
（2）設(shè)點(diǎn)
，直線與曲線相交于
，
兩點(diǎn)，求
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在如圖所示的多面體中，
平面
，四邊形
為平行四邊形，點(diǎn)
分別為
的中點(diǎn)，且
，
，
.
（1）求證：
平面；
（2）若
，求該多面體的體積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，直線
與拋物線
相交于不同的
兩點(diǎn)．
（1）如果直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求
的值；
（2）如果
，證明直線必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．
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