Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為R，且f（x）不為常值函數，有以下命題： ①函數g（x）=f（x）+f（﹣x）一定是偶函數；
②若對任意x∈R都有f（x）+f（2﹣x）=0，則f（x）是以2為周期的周期函數；
③若f（x）是奇函數，且對于任意x∈R，都有f（x）+f（2+x）=0，則f（x）的圖象的對稱軸方程為x=2n+1（n∈Z）；
④對于任意的x1 ， x2∈R，且x1≠x2 ， 若 ＞0恒成立，則f（x）為R上的增函數，
其中所有正確命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵g（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=g（x），故函數g（x）=f（x）+f（﹣x）一定是偶函數，故①正確；②若對任意x∈R都有f（x）+f（2﹣x）=0，則f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，但不一定是周期函數，故錯誤；③若f（x）是奇函數，且對于任意x∈R，都有f（x）+f（2+x）=0，則函數的周期為4，則f（x）的圖象的對稱軸方程為x=2n+1（n∈Z），故正確；④對于任意的x1 ， x2∈R，且x1≠x2 ， 若 ＞0恒成立，則f（x）為R上的增函數，故正確， 所以答案是：①③④
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．