Question

【題目】一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是 ；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是 ． （Ⅰ）若袋中共有10個球，
（i）求白球的個數；
（ii）從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數為ξ，求隨機變量ξ的數學期望Eξ．
（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于 ．并指出袋中哪種顏色的球個數最少．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（i）記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A， 設袋中白球個數為x，則P（A）=1﹣ = ，
解得x=5，∴白球個數是5個．
（ii）隨機變量ξ的取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）= = = ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= ，
P（ξ=3）= = = ，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

Eξ= = ．
證明：（Ⅱ）設袋中有n個球，其中y個黑球，
由題意，得y= n，
∴2y＜n，2y≤n﹣1，
∴ ，
記“從袋中任意取出兩個球，至少有1個黑球”為事件B，
則P（B）= ，
∴白球的個數比黑球多，白球個數多于 ，黑球個數少于 ，
故袋中紅球個數最少
【解析】（Ⅰ）設袋中白球個數為x，由對立事件概率計算公式得：1﹣ = ，由此能求出白球個數．（ii）隨機變量ξ的取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的數學期望Eξ（Ⅱ）設袋中有n個球，其中y個黑球，由題意，得y= n，從而2y＜n，2y≤n﹣1，進而 ，由此能證明從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于 ．并得到袋中哪種顏色的球個數最少．
【考點精析】關于本題考查的離散型隨機變量及其分布列，需要了解在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能得出正確答案．