Question

【題目】綜合題。
（1）現有5名男生和3名女生．若從中選5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少種不同的排法？
（2）從{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}中任選三個不同元素作為二次函數y=ax2+bx+c的系數，問能組成多少條經過原點且頂點在第一象限或第三象限的拋物線？
（3）已知（ +2x）n ， 若展開式中第5項、第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大項的系數．

Answer 1

【答案】
（1）解：分三步完成：先從3名女生中選出2名，有 種方法，再從5名男生中選出3名，有 種方法，將選擇出的5人全排列，有 ，

根據分步計數原理，共有 =3600種

（2）解：∵拋物線過原點，∴c=0，c只有1種取法；

當頂點在第一象限時，必開口向下，且對稱軸在y軸右邊，∴a＜0，b＞0，

∴a可取﹣1，﹣2，﹣3，有3種方法；b可取1，2，3，4，有4種方法，

共得到3×4=12條拋物線．

當頂點在第三象限時，必開口向上，且對稱軸在y軸左邊，∴a＞0，b＞0，

即a，b只能在1，2，3，4中取，由于a，b不相同，所以有 種取法，

得到 條拋物線…（8分） 所以共有不同的拋物線條數為 +12=24條

（3）解：（ +2x）n的若展開式通項

∵第5項、第6項與第7項的二項式系數成等差數列，

∴ ，解得n=7或n=14，

∴當n=7時，二項式系數最大的項是T4和T5，

其中T4= ，T5= ，系數分別為 ，70．

∴當n=14時，二項式系數最大的項是T8= ，系數為 =3432

【解析】（1）分三步完成：先從3名女生中選出2名，有 種方法，再從5名男生中選出3名，有 種方法，將選擇出的5人全排列，有 ，根據分步計數原理即可得出．（2）由拋物線過原點，可得c=0，c只有1種取法．對頂點分類討論：當頂點在第一象限時，必開口向下，且對稱軸在y軸右邊，可得a＜0，b＞0．當頂點在第三象限時，必開口向上，且對稱軸在y軸左邊，可得a＞0，b＞0，進而得出．（3）（ +2x）n的若展開式通項 ，由第5項、第6項與第7項的二項式系數成等差數列，可得 ，解得n，再利用二項式定理展開式的通項公式即可得出．