Question

【題目】設函數．

（1）求函數在上的最小值點；

（2）若，求證：是函數在時單調遞增的充分不必要條件．

Answer 1

【答案】（1）時，最小值點為，時，最小值點為，當時，最小值點為．（2）見解析．

【解析】

（1）求出導函數，研究函數的單調性，確定函數在上單調性得最值．

（2）求出數在時單調遞增時的的取值范圍后可得結論．

（1），由得，

當時，，遞減，時，，遞增，

當，即時，在遞增，的最小值點為，

，即時，的極小值點也是最小值點為，

，即時，在遞減，的最小值點為．

綜上，時，最小值點為，時，最小值點為，當時，最小值點為．

（2）由已知，，

由題意在上恒成立，即在上恒成立，

設，，

設，，當時，，遞增，∴，∴，在上遞減，

，∴時，，∴．

∴：是函數在時單調遞增的充分不必要條件．