【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）若曲線
的一條切線方程為
，
（i）求
的值；
（ii）若
時，
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】(1)見解析.(2)（i）1, （ii）
.
【解析】
（1）求導后，分
和
兩種情況，解得
與
的解集，可得
的單調性.
（2）（i）設切點為
，由題意利用切線與導函數的關系建立方程組即可確定b的值；
（ii）將原問題轉化為函數在給定區間上單調性的問題，利用導函數研究函數單調性的方法即可確定實數
的取值范圍.
由
得
，
若，則，即在
上是增函數；
若，令得
，令得
，即在
上是單調減函數，在
上是單調增函數.
（2）（i）設切點為，得由題意得
，消去
與
得
，令
，
，
時，
；
時，
；
時，
；
在
上是減函數，在
上是增函數，
，即僅有一個零點，即方程
僅有一個根，
（ii）由（i）知
，
即為
由
知，上式等價于函數
在為增函數
，即
，
令
，
，
時，
；
時，
；
時，
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
，則
，即
，所以實數的范圍為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
在第一象限內的點
到焦點
的距離為
．
（1）若
，過點
, 
的直線
與拋物線相交于另一點
，求
的值；
（2）若直線
與拋物線
相交于
兩點，與圓
相交于
兩點， 
為坐標原點， 
，試問：是否存在實數
，使得
的長為定值？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】C反應蛋白（CRP）是機體受到微生物入侵或組織損傷等炎癥性刺激時肝細胞合成的急性相蛋白，醫學認為CRP值介于0-10mg/L為正常值下面是某患者在治療期間連續5天的檢驗報告單中CRP值（單位：mg/L）與治療天數的統計數據：
治療天數x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
CRP值y | 51 | 40 | 35 | 28 | 21 |
（1）若CRP值y與治療天數x具有線性相關關系，試用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程，并估計該患者至少需要治療多少天CRP值可以到正常水平；
（2）為均衡城鄉保障待遇，統一保障范圍和支付標準，為參保人員提供公平的基本醫療保障.某市城鄉醫療保險實施辦法指出：門診報銷比例為50％：住院報銷比例，A類醫療機構80％，B類醫療機構60％.若張華參加了城鄉基本醫療保險，他因CRP偏高選擇在某醫療機構治療，醫生為張華提供了三種治療方案：
方案一：門診治療，預計每天診療費80元；
方案二：住院治療，A類醫療機構，入院檢查需花費600元，預計每天診療費100元；
方案三：住院治療，B類醫療機構，入院檢查需花費400元，預計每天診療費40元；
若張華需要經過連續治療n天，
，請你為張華選擇最經濟實惠的治療方案．
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
是衡量空氣污染程度的一個指標，為了了解
市空氣質量情況，從
年每天的值的數據中隨機抽取
天的數據，其頻率分布直方圖如圖所示.將值劃分成區間
、
、
、
，分別稱為一級、二級、三級和四級，統計時用頻率估計概率 .
（1）根據年的數據估計該市在
年中空氣質量為一級的天數；
（2）如果市對環境進行治理，經治理后，每天值
近似滿足正態分布
，求經過治理后的值的均值下降率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】拋物線
的焦點為
，準線為
，若
為拋物線上第一象限的一動點，過作
的垂線交準線于點
，交拋物線于
兩點.
（Ⅰ）求證：直線
與拋物線相切；
（Ⅱ）若點滿足
，求此時點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】綠水青山就是金山銀山．某山村為做好水土保持，退耕還林，在本村的山坡上種植水果，并推出山村游等旅游項目．為預估今年7月份游客購買水果的情況，隨機抽樣統計了去年7月份100名游客的購買金額．分組如下：
，
，
，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）請用抽樣的數據估計今年7月份游客人均購買水果的金額（同一組中的數據用該組區間中點作代表）．
（2）若把去年7月份購買水果不低于80元的游客，稱為“水果達人”． 填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有95%的把握認為“水果達人”與性別有關系？
水果達人 | 非水果達人 | 合計 | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
合計 |
（3）為吸引顧客，商家特推出兩種促銷方案．方案一：每滿80元可立減10元；方案二：金額超過80元可抽獎三次，每次中獎的概率為
,且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折．若每斤水果10元，你打算購買12斤水果，請從實際付款金額的數學期望的角度分析應該選擇哪種優惠方案．
附：參考公式和數據：
，
.臨界值表：
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】規定：在桌面上，用母球擊打目標球，使目標球運動，球的位置是指球心的位置，我們說球
是指該球的球心點．兩球碰撞后，目標球在兩球的球心所確定的直線上運動，目標球的運動方向是指目標球被母球擊打時，母球球心所指向目標球球心的方向．所有的球都簡化為平面上半徑為1的圓，且母球與目標球有公共點時，目標球就開始運動，在桌面上建立平面直角坐標系，解決下列問題：
（1）如圖，設母球的位置為
，目標球
的位置為
，要使目標球向
處運動，求母球球心運動的直線方程；
（2）如圖，若母球的位置為
，目標球的位置為，能否讓母球擊打目標球后，使目標球向
處運動？
（3）若的位置為
時，使得母球擊打目標球時，目標球
運動方向可以碰到目標球
，求
的最小值（只需要寫出結果即可）.
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