Question

【題目】已知函數，

（1）已知為自然對數的底數，求函數在處的切線方程；

（2）當時，方程有唯一實數根，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）求得函數的導數，得到，，利用直線的點斜式方程，即可求解切線的方程；

（2）當時，方程，即，令，求得，令，分類討論利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解．

（1）由題意，函數，定義域，

則，所以，

函數在處的切線方程為，整理得，

即函數在處的切線方程．

（2）當時，方程，即，

令，有，，

令，

因為，所以在單調遞減，

①當即時， ，即在單調遞減，所以，方程無實根．

②當時，即 時，存在，使得時，，即單調遞增； 時，，即單調遞減； 因此，

取，則，

令，，

由，則，，所以，即在時單調遞減，

所以．

故存在，．

綜上，的取值范圍為.